整数論： フェルマーの小定理 その1

問題：

 を奇素数とする。整数  に対して、

と定義する。整数  と  を用いて、

と書けるとき、 が で割り切れることを示せ。

（出典 ： 国際数学オリンピック 2011年 Problem Shortlist N7）

解答：

は整数であり、 は と互いに素であることから、

となる。ところで、

であり、

となる。ここで、

から、

である。ここで、 は  と互いに素であることから、

となる。よって、

となり、フェルマーの小定理から、 なので、 となる。よって題意が証明できた。