幾何学： 円に内接しない四角形

円に内接しない四角形で成り立つ恒等式の証明です。方べきの定理を用います。

問題：

四角形  は円に内接しないとする。 と  を三角形  の外接円の中心と半径とする。同様にして、 と  を定義する。この時、下記の式が成立することを示せ。

(出典 : 国際数学オリンピック 2011年 Problem Shortlist G2)

解答：

 と  の交点を  とする。 三角形   の外接円と直線  の交点を  とする。方べきの定理から、

かつ、 となる。 とすると、 となる。 と書くとすると、

以上のことから、求める左辺は各項の符号に注意すると、

となり、題意が証明できた。