幾何学： 対称点でできる三角形

問題：

三角形 ABC があり、その外接円の A での接線と直線 BC が点 P で交わっている。直線 AB, AC について点 P と対称な点をそれぞれ点 Q, R とする。このとき、直線 BC と直線 QR は垂直に交わることを示せ。

(出典 : 数学オリンピック　2012年　本戦　第1問)

解答：

題意から、AP = AQ かつ AP = AR であることから A は三角形 PQR の外接円の中心である。

PQ の中点を M、PR の中点を N とすると、∠PAM = ∠MAQ であり、 三角形 PQR の外接円は A を中心とするので、∠PAQ = 2∠PRQ となる。よって、∠PAM = ∠PRQ である。

また、点 A における接線定理から、∠PAM = ∠ACB である。よって、∠ACB  = ∠PRQ　となる。

直線 BC と直線 QR の交点を V　とし、三角形 PCN と PRV を比較すると、二角が等しいことから相似関係であることがわかる。∠PNC = 90°　であることから、直線 BC と直線 QRが直交することになる。