「ABC予想」と「フェルマーの最終定理」

京都大学望月新一教授のABC予想に関する論文が話題になっていますが、ABC予想が完全に証明されると、フェルマーの最終定理が（比較的）簡単に証明できます。今回は、ABC予想からフェルマーの最終定理を導く方法を示します。

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フェルマーの最終定理は、

「が3以上の整数の時、 を満たす自明な整数解は存在しない」

ですが、適当に符号と記号の入れ替えるなどすれば、次のように言い換えることができます。

「が3以上の整数の時、 を満たす自然数解は存在しない」

このとき、は互いに素で、としても一般性は失われません。

一方で、ABC予想の一つに次のようなものがあります。

「がabc-tripleならば、　となる」

という記号は、を素因数分解した時の、素数の積を表します。つまり、

となります。また、abc-tripleとは「互いに素な自然数の組 で、 となるもの」を指します。

フェルマーの最終定理とABC予想を見比べると、となる自然数の組みが存在するとすると、それはabc-tripleであることに気づきます。

そこで、フェルマーの定理の反例となるが存在し、さらにABC予想が正しいと仮定すると、

となります。すべての自然数に対してとなることと、であることを用いて、

となり、これから、フェルマーの定理の反例が存在する場合、それはに限られることが分かります。しかし、の場合、フェルマーの定理が正しいことは証明されているので、フェルマーの最終定理が正しいことになります。

(証明終)

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なおこの証明は、山崎隆雄氏（東北大）の解説「フェルマー予想とABC予想」を参考にさせていただきました。