問題:
は素数とする。以下の条件がすべての整数
について成り立つような自然数
を全て求めよ。
条件:
が
で割り切れるならば、
でも割り切れる。
(出典:数学オリンピック 2012年 本戦 第3問)
(出典:数学オリンピック 2012年 本戦 第3問)
解答:
合同式を用いると、条件は次のように書ける。
合同式を用いると、条件は次のように書ける。
ここで、
となるすべての
に関して、
を満たすので、条件から
を満たす必要がある。
となることから、
に対して、
となり、
が必要条件であることがわかる。
逆に、
(
は自然数)の場合、
となる。ここでフェルマーの小定理から、
を用いた。
これから、
となる
に対して、
であることから、
となり、すべての
に対して条件を満足する。よって求めるべき
は
(
は自然数)である。
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