整数論： 連続するn個の自然数の積

「となり合う２個の自然数は互いに素」であることを活用する問題。

問題：

を2以上の整数とする。自然数の乗になる数を乗数と呼ぶことにする。以下の問に答えよ。

（１）連続する2個の自然数の積は乗数でないことを示せ。

（２）連続する個の自然数の積は乗数でないことを示せ。

（出典：　東大入試　2012年 第4問）

解答：

（１）自然数が、を満たすと仮定する。連続する2数は互いに素であるため、互いに素な自然数を用いて、、  と表される。しかし、  よりを満足するは存在しない。よって題意が示された。

（２）自然数が、を満たすと仮定する。から、となる。これから とすると、となり、両辺を で割るととなる。これは、 と  が互いに素であることから矛盾する。よって題意が示された。